Вопрос:

Паша Техник

Матричная функция — Матричные возмущения


Ответ:

Dina Зинурова

Ряд Тейлора, приведённый выше, допускает замену скаляра   на матрицу. Но это недопустимо в общем случае, когда разложение осуществляется в терминах  в окрестности точки  , кроме случаев, когда  . Контр-примером является функция  , ряд Тейлора которой содержит конечное число слагаемых. Вычислим его двумя способами.

  • Непосредственно:
  • Используя разложение Тейлора для скалярной функции  и заменяя скаляры на матрицы в самом конце:

Скалярное выражение подразумевает коммутативность, а матричное — нет, поэтому их нельзя приравнивать, если не выполняется условие   . Для некоторых f(x) можно поступить так же, как для скалярных рядов Тейлора. Например, для  : если существует   , то  . Тогда

.

Для сходимости этого степенного ряда требуется, чтобы в соответствующей матричной норме     было достаточно мало. В общем случае, когда функция не может быть переписана таким образом, чтобы две матрицы коммутировали, при применении правила Лейбница нужно учитывать порядок умножения матриц.

Источник: Википедия


Связанные вопросы (Матричная функция):

Расширение скалярной функции до матричной функции

Степенные ряды

Разложение Жордана

Эрмитовы матрицы

Интеграл Коши

Примеры

Классы матричных функций

Операторная монотонность

Операторная выпуклость/вогнутость