Вопрос:

Мария Дмитриева

Матричная функция — Интеграл Коши


Ответ:

Никита Emerald

Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может быть использована для обобщения скалярных функций до матричных функций. Интегральная формула Коши гласит, что для любой аналитической функции f, определённой на множестве D⊂ℂ, имеет место равенство

,

где C — замкнутая кривая внутри области определения D, охватывающая точку x. Заменим теперь x на матрицу A и рассмотрим контур C, лежащий внутри D и охватывающий все собственные значения матрицы. Один из возможных контуров C — круг, включающий начало координат, с радиусом, превышающим  для произвольной нормы . Тогда   определяется выражением

Этот интеграл может быть вычислен численно с помощью метода трапеций, который в данном случае сходится экспоненциально. Это означает, что точность результата удваивается при увеличении числа узлов в два раза.

Эта идея, применённая к линейным ограниченным операторам на банаховых пространствах, которые можно рассматривать без бесконечномерные матрицы, приводит к голоморфному функциональному исчислению[en].

Источник: Википедия


Связанные вопросы (Матричная функция):

Расширение скалярной функции до матричной функции

Степенные ряды

Разложение Жордана

Эрмитовы матрицы

Матричные возмущения

Примеры

Классы матричных функций

Операторная монотонность

Операторная выпуклость/вогнутость