Вопрос:

Кирилл Жвалевкий

Матричная функция — Разложение Жордана


Ответ:

Лена Чернышова

Пусть матрица A может быть приведена к диагональному виду, то есть мы можем найти матрицу P и диагональную матрицу D такие, что   . Применяя определение через степенные ряды к этому разложению, мы получаем, что   определяется выражением 

где  обозначает диагональные элементы матрицы D.

Любая матрица может быть приведена к жордановой нормальной форме  , где матрица J состоит из жордановых клеток[en]. Рассмотрим эти блоки отдельно и применим метод степенных рядов к каждой жордановой клетке:

Это определение может быть использовано для расширения области определения матричной функции за пределы множества матриц, спектральный радиус которых меньше, чем радиус сходимости исходного степенного ряда. Отметим также связь с разделёнными разностями.

Родственным понятием является разложение Жордана-Шевалле[en], которая представляет матрицу как сумму диагонализируемой и нильпотентной частей.

Источник: Википедия


Связанные вопросы (Матричная функция):

Расширение скалярной функции до матричной функции

Степенные ряды

Эрмитовы матрицы

Интеграл Коши

Матричные возмущения

Примеры

Классы матричных функций

Операторная монотонность

Операторная выпуклость/вогнутость