Вопрос:

Денис Голобоков

Кинетическое уравнение Больцмана — Приближение времени релаксации


Ответ:

Дмитрий Прокопчук

Уравнения Больцмана - сложное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов - непростое дело. Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю. При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде

,

где - равновесная функция распределения, зависит только от скоростей частиц и известная из термодинамики , а - небольшое отклонение.

В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции , и записать его в виде:

,

где τ - время релаксации. Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений Батнагара-Гросса-Крука (BGK-model). Время релаксации, входящее в уравнения Больцмана, зависит от скорости частиц, а следовательно энергии. Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретным процессами рассеяния частиц.

Уравнения Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде

.

Источник: Википедия


Связанные вопросы (Кинетическое уравнение Больцмана):

Формулировка

Интеграл столкновений

Вывод уравнения Больцмана